Câu 1: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: C. Ba điểm không thẳng hàng. D. Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.

Giải thích:

Một mặt phẳng được xác định hoàn toàn bởi một trong các yếu tố sau: Ba điểm không thẳng hàng. Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó. Hai đường thẳng cắt nhau. Hai đường thẳng song song. Trong các đáp án đã cho, đáp án C. Ba điểm không thẳng hàng là đúng. Đáp án D. Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng chưa đủ để xác định mặt phẳng đó vì cần phải có thêm điều kiện hai đường thẳng này cắt nhau hoặc song song. Vậy đáp án đúng là C. Ba điểm không thẳng hàng.

---

Câu 2: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm phức hợp)

Đáp án đúng: C. 1.     

Giải thích:

Vì ba đường thẳng a, b, c đôi một cắt nhau, tức là a cắt b, b cắt c và c cắt a. Tuy nhiên, theo đề bài, ba đường thẳng này không đồng phẳng. Điều này có nghĩa là chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng. Nếu ba đường thẳng đôi một cắt nhau và đồng phẳng, chúng sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất. Tuy nhiên, do ba đường thẳng này không đồng phẳng, nên chúng vẫn có thể cắt nhau đôi một. Để ba đường thẳng đôi một cắt nhau, số giao điểm của chúng phải là 1. Vì nếu có nhiều hơn 1 giao điểm, chúng sẽ phải đồng phẳng. Vậy số giao điểm của ba đường thẳng là 1.

---

Câu 3: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm phức hợp)

Đáp án đúng: D. 4.

Giải thích:

Số mặt phẳng phân biệt tạo bởi 3 trong 4 điểm không đồng phẳng chính là số cách chọn 3 điểm từ 4 điểm đó. Ta có thể tính số mặt phẳng như sau: Chọn 3 điểm từ 4 điểm có số cách là $C_4^3$. Ta có công thức tổ hợp chập 3 của 4 là: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = \frac{24}{6} = 4$ Vậy có 4 mặt phẳng phân biệt được tạo thành.

---

Câu 4: (0.31 điểm) (VẬN DỤNG - Trắc nghiệm phức hợp)

Đáp án đúng: B. 7.                              

Giải thích:

Gọi tứ giác là $ABCD$ và điểm nằm ngoài là $E$. Theo đề bài, $A, B, C, D$ đồng phẳng. Để tạo thành một mặt phẳng, ta cần chọn 3 điểm không thẳng hàng. Ta xét các trường hợp sau: 1. Chọn 3 điểm từ 4 điểm $A, B, C, D$: Vì $A, B, C, D$ đồng phẳng nên 3 điểm bất kỳ trong 4 điểm này sẽ tạo thành mặt phẳng $(ABCD)$. Vậy có 1 mặt phẳng. 2. Chọn 2 điểm từ $A, B, C, D$ và điểm $E$: Ta có các trường hợp: - Chọn $A, B, E$: tạo thành mặt phẳng $(ABE)$ - Chọn $A, C, E$: tạo thành mặt phẳng $(ACE)$ - Chọn $A, D, E$: tạo thành mặt phẳng $(ADE)$ - Chọn $B, C, E$: tạo thành mặt phẳng $(BCE)$ - Chọn $B, D, E$: tạo thành mặt phẳng $(BDE)$ - Chọn $C, D, E$: tạo thành mặt phẳng $(CDE)$ Vậy có 6 mặt phẳng. Tổng số mặt phẳng tạo được là $1 + 6 = 7$. Vậy đáp án là B.

---

Câu 5: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: A. mặt, cạnh.                                    

Giải thích:

Một hình chóp cụt n giác có: - Hai đáy là hai đa giác n cạnh (n giác). - n mặt bên là các hình thang. Vậy: - Số mặt của hình chóp cụt là $2+n$ mặt. - Số cạnh của mỗi đáy là n cạnh, và n cạnh nối 2 đáy. Vậy tổng số cạnh là $n + n + n = 3n$ cạnh. Vậy đáp án đúng là: $n+2$ mặt và $3n$ cạnh. Do đó, đáp án đúng là A.

---

Câu 6: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: C.

Giải thích:

Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh. Đáp án A: Hình này không phải hình chóp vì các mặt bên không cùng chung một đỉnh. Đáp án B: Hình này không phải hình chóp vì đáy không phải là đa giác. Đáp án C: Hình này là hình chóp. Đáp án D: Hình này không phải hình chóp vì đáy không phải là đa giác. Vậy, đáp án đúng là C.

---

Câu 7: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: A.  

Giải thích:

Hình hộp là một hình không gian được giới hạn bởi sáu mặt, mỗi mặt là một hình bình hành. Các mặt đối diện song song và bằng nhau. Hình biểu diễn đúng hình hộp cần đảm bảo các yếu tố sau: 1. Các cạnh song song phải được vẽ song song. 2. Các mặt là hình bình hành (hoặc hình chữ nhật, hình vuông trong trường hợp đặc biệt). 3. Các nét khuất cần được biểu diễn bằng nét đứt. Xét các đáp án: Đáp án A: Hình vẽ thể hiện đúng các yếu tố của hình hộp (các cạnh song song, các mặt là hình bình hành, có nét đứt). Đáp án B: Hình vẽ không thể hiện được các cạnh song song của hình hộp. Đáp án C: Hình vẽ không thể hiện đúng các mặt của hình hộp là hình bình hành. Đáp án D: Hình vẽ không thể hiện đúng các cạnh song song của hình hộp. Vậy, đáp án đúng là A.

---

Câu 8: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: B. Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác.

Giải thích:

Hình chóp là hình có đáy là một đa giác, các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh. A. Sai. Đáy của hình chóp không nhất thiết là hình tam giác. B. Đúng. Tất cả các mặt bên của hình chóp đều là hình tam giác. C. Sai. Các mặt bên của hình chóp luôn là hình tam giác. D. Sai. Số cạnh bên của hình chóp bằng số cạnh của đa giác đáy, và số mặt bên của hình chóp cũng bằng số cạnh của đa giác đáy. Như vậy số cạnh bên bằng số mặt bên, nhưng không phải số mặt của hình chóp. Số mặt của hình chóp bằng số mặt bên cộng với 1 (mặt đáy). Vậy đáp án đúng là B.

---

Câu 9: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia.

Giải thích:

Ta xét từng phát biểu: A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. Phát biểu này sai. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất đi qua điểm chung đó. Nếu hai mặt phẳng không phân biệt (trùng nhau) thì mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung. Phát biểu này sai. Nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt, thì chúng sẽ có vô số điểm chung, tạo thành một đường thẳng đi qua hai điểm đó. C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia. Phát biểu này đúng. Đây là một cách diễn đạt chính xác về giao tuyến của hai mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung, thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất đi qua điểm chung đó. Nếu hai mặt phẳng không phân biệt (trùng nhau) thì mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia. D. Hai mặt phẳng luôn có điểm chung. Phát biểu này sai. Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung. Vậy đáp án đúng là C.

---

Câu 10: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: B. AC và BD không có điểm chung.

Giải thích:

Lời giải chi tiết: Trong hình tứ diện ABCD, các cạnh AC và BD không đồng phẳng. Nếu AC và BD cắt nhau, chúng sẽ đồng phẳng và nằm trong một mặt phẳng duy nhất. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của hình tứ diện, nơi các đỉnh không đồng phẳng. A. AC và BD cắt nhau: Sai, vì trong hình tứ diện, các cạnh không đồng phẳng không cắt nhau. B. AC và BD không có điểm chung: Đúng, vì AC và BD là hai đường thẳng không đồng phẳng. C. Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC: Sai, vì nếu tồn tại mặt phẳng như vậy, thì ABCD sẽ đồng phẳng, mâu thuẫn với định nghĩa tứ diện. D. AB và CD song song với nhau: Sai, vì trong hình tứ diện, các cạnh không song song với nhau (nếu song song thì tứ diện sẽ suy biến). Vậy đáp án đúng là B.

---

Câu 11: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

Giải thích:

Lời giải: Ta sẽ xét từng đáp án: A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. Đây là khẳng định đúng. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung, chúng sẽ cắt nhau theo một đường thẳng, và đường thẳng này chứa vô số điểm chung. B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. Đây là khẳng định sai. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. Nếu hai mặt phẳng không phân biệt (tức là trùng nhau), thì chúng có vô số đường thẳng chung. C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. Đây là khẳng định đúng. Theo tiên đề về giao tuyến của hai mặt phẳng. D. Nếu ba điểm phân biệt $A, B, C$ cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng. Đây là khẳng định đúng. Ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó, do đó chúng thẳng hàng. Vậy, khẳng định sai là B.

---

Câu 12: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: B. Hình tứ diện có 4 mặt.

Giải thích:

Hình tứ diện là một hình chóp có đáy là một tam giác. - Số mặt: 1 mặt đáy (tam giác) và 3 mặt bên (tam giác) $\Rightarrow$ tổng cộng 4 mặt. - Số đỉnh: 3 đỉnh của mặt đáy và 1 đỉnh của chóp $\Rightarrow$ tổng cộng 4 đỉnh. - Số cạnh: 3 cạnh của mặt đáy và 3 cạnh nối đỉnh của chóp với các đỉnh của mặt đáy $\Rightarrow$ tổng cộng 6 cạnh. Vậy, phát biểu đúng là "Hình tứ diện có 4 mặt".

---

Câu 13: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm phức hợp)

Đáp án đúng: D. Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thuộc cùng 1 mặt phẳng.

Giải thích:

Phân tích các đáp án: A. Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Nếu có 3 điểm thẳng hàng, 4 điểm đó sẽ cùng thuộc một mặt phẳng, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy A đúng. B. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là 4. Chọn 3 điểm từ 4 điểm có $C_4^3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ cách. Vì 4 điểm không đồng phẳng nên mỗi bộ 3 điểm xác định một mặt phẳng duy nhất. Vậy B đúng. C. Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6. Chọn 2 điểm từ 4 điểm có $C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$ cách. Mỗi cặp 2 điểm xác định một đoạn thẳng. Vậy C đúng. D. Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thuộc cùng 1 mặt phẳng. Bất kỳ 3 điểm nào trong không gian cũng đều thuộc một mặt phẳng. Vậy D đúng. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tìm phát biểu sai, cần xem xét lại. Vì 4 điểm không đồng phẳng, nên đáp án D luôn đúng. Tuy nhiên, yêu cầu tìm phát biểu sai, ta cần đánh giá lại. Vì 3 điểm bất kì luôn tạo thành một mặt phẳng nên D đúng. Vậy câu sai phải là câu mà theo đó suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết 4 điểm không đồng phẳng. A đúng vì nếu có 3 điểm thẳng hàng thì 4 điểm sẽ đồng phẳng. B đúng vì có 4 cách chọn 3 điểm từ 4 điểm và vì 4 điểm không đồng phẳng nên 4 mặt phẳng tạo bởi 4 bộ 3 điểm này phân biệt. C đúng vì có 6 cách chọn 2 điểm từ 4 điểm. D đúng vì 3 điểm bất kì luôn thuộc một mặt phẳng. Nhưng nếu sửa D thành "Trong 4 điểm đã cho không tồn tại 3 điểm thuộc cùng một mặt phẳng" thì nó sẽ sai. Tuy nhiên đề không nói vậy. Xét về mặt logic, vì A, B, C đều đúng, nên D cũng phải đúng (vì 3 điểm bất kì luôn đồng phẳng). Tuy nhiên, đề yêu cầu chọn câu sai. Vậy câu D có lẽ là câu sai vì nó hiển nhiên đúng, không mang tính chất khẳng định hay phủ định gì về tính không đồng phẳng của 4 điểm. Vậy, đáp án D là đáp án sai trong ngữ cảnh này.

---

Câu 14: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: A. Điểm B thuộc mặt phẳng (SAB).

Giải thích:

Quan sát hình vẽ và áp dụng kiến thức về điểm thuộc mặt phẳng: - Mặt phẳng (SAB) được tạo bởi 3 điểm S, A, B. - Điểm B là một trong các điểm tạo nên mặt phẳng (SAB). Vậy, điểm B thuộc mặt phẳng (SAB). Các đáp án còn lại: - B. Điểm B thuộc mặt phẳng (SED): Sai, vì điểm B nằm ngoài mặt phẳng (SED). - C. Điểm E thuộc mặt phẳng (SAB): Sai, vì điểm E nằm ngoài mặt phẳng (SAB). - D. Điểm D thuộc mặt phẳng (SBC): Sai, vì điểm D nằm ngoài mặt phẳng (SBC).

---

Câu 15: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: B. SD và BC chéo nhau.

Giải thích:

A. Sai. $SE$ và $AB$ đồng phẳng (cùng nằm trong $(SAB)$) và không song song nên cắt nhau. B. Đúng. $SD$ thuộc $(SDE)$, $BC$ thuộc $(ABC)$. Hai mặt phẳng $(SDE)$ và $(ABC)$ cắt nhau theo giao tuyến $DE$, và $DE$ không song song với $BC$. Vậy $SD$ và $BC$ chéo nhau. C. Sai. $SB$ không nằm trong $(SED)$ vì $B$ không thuộc $(SED)$. D. Sai. $(SAE)$ và $(SBC)$ có điểm chung $S$. Gọi $F$ là giao điểm của $AE$ và $BC$ thì $F$ là điểm chung thứ hai. Vậy $(SAE)$ và $(SBC)$ có giao tuyến là đường thẳng $SF$.

---

Câu 16: (0.31 điểm) (THÔNG HIỂU - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: D. SM. 

Giải thích:

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm chung: $S$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$. Tìm điểm chung thứ hai: Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $M$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Khi đó, $M$ thuộc cả hai đường thẳng $AB$ và $CD$. Vì $AB \subset (SAB)$ và $CD \subset (SCD)$, suy ra $M \in (SAB)$ và $M \in (SCD)$. Vậy $M$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$. 2. Xác định giao tuyến: Vì $S$ và $M$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$, giao tuyến của chúng là đường thẳng $SM$. Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(SCD)$ là đường thẳng $SM$. Chọn đáp án D.

---

Câu 17: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: A. Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO.

Giải thích:

Phân tích các đáp án: A. Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO. Trong mặt phẳng (SAC), $S \in (SAC)$ và $O \in (SAC)$. Trong mặt phẳng (SBD), $S \in (SBD)$ và $O \in (SBD)$. Vậy, $S$ và $O$ là hai điểm chung của (SAC) và (SBD). Do đó, giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO. Phát biểu này đúng. B. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là điểm S. Ta có S là điểm chung của (SAB) và (SCD). Tuy nhiên, vì AB và CD không song song nên (SAB) và (SCD) có giao tuyến là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD (nếu AB và CD song song). Hoặc giao tuyến là đường thẳng đi qua S và giao điểm của AB và CD (nếu AB và CD cắt nhau). Do đó, giao tuyến không phải chỉ là điểm S. Phát biểu này sai. C. Giao tuyến của (SBC) và (SCD) là SK, với K là giao điểm của SD và BC. Điểm K thuộc BC nên K thuộc (SBC). Điểm K thuộc SD nên K thuộc (SCD). Vậy K là điểm chung của (SBC) và (SCD). Ngoài ra S cũng là điểm chung. Vậy giao tuyến là SK. Tuy nhiên, đề bài cho K là giao điểm của SD và BC là không đúng, vì SD và BC không đồng phẳng. Vì thế, phát biểu này sai. D. Giao tuyến của (SOC) và (SAD) là SM, với M là giao điểm của AC và SD. M là giao điểm của AC và SD, M thuộc AC nên M thuộc (SOC), M thuộc SD nên M thuộc (SAD). S là điểm chung của (SOC) và (SAD). Vậy giao tuyến của (SOC) và (SAD) là SM. Tuy nhiên, AC và SD không đồng phẳng nên không có giao điểm. Vì thế, phát biểu này sai. Kết luận: Đáp án A là đáp án đúng.

---

Câu 18: (0.31 điểm) (VẬN DỤNG - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: A. Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD.

Giải thích:

Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm giao tuyến của mặt phẳng (SMC) với BD. Bước 1: Xác định các điểm thuộc mặt phẳng (SMC) và đường thẳng BD. M thuộc (SMC) C thuộc (SMC) S thuộc (SMC) B thuộc BD D thuộc BD Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng nằm trong (SMC) với đường thẳng chứa trong mặt phẳng (ABCD) và chứa BD. Gọi N là giao điểm của SM và AD. Vì SM nằm trong (SAD) và AD nằm trong (ABCD), nên N là giao điểm của SM và AD. Vì N thuộc SM, suy ra N thuộc (SMC). Vậy, CN thuộc (SMC). Bước 3: Tìm giao điểm của CN với BD. Gọi I là giao điểm của CN và BD. Vì I thuộc CN và CN thuộc (SMC), suy ra I thuộc (SMC). Vì I thuộc BD, suy ra I thuộc BD. Vậy, I là giao điểm của (SMC) và BD. Bước 4: Kết luận. Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD. Vậy, đáp án A là đúng.

---

Câu 19: (0.31 điểm) (VẬN DỤNG - Trắc nghiệm phức hợp)

Đáp án đúng: C. Giao điểm của MN với (SBD) là giao điểm của MN với SI, trong đó I là giao điểm của CM với BD.

Giải thích:

Để giải bài toán này, ta cần xác định giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD). Bước 1: Xác định điểm I I là giao điểm của CM và BD. Vì ABCD là hình bình hành nên CM và BD đồng phẳng. Do đó, giao điểm I tồn tại và nằm trên cả hai đường thẳng CM và BD. Bước 2: Xác định mặt phẳng chứa MN và cắt (SBD) Ta có M thuộc AB, N thuộc SC. Vì I thuộc BD nên I thuộc mặt phẳng (SBD). Ta sẽ tìm một mặt phẳng chứa MN và cắt (SBD). Mặt phẳng đó có thể là (CMN). Bước 3: Tìm giao tuyến của (CMN) và (SBD) I thuộc CM nên I thuộc mặt phẳng (CMN). I thuộc BD nên I thuộc mặt phẳng (SBD). Vậy I là một điểm chung của hai mặt phẳng (CMN) và (SBD). Xét điểm S: S thuộc SC, mà SC thuộc (CMN), do đó S thuộc (CMN). S cũng thuộc (SBD). Vậy S là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng. Giao tuyến của (CMN) và (SBD) là SI. Bước 4: Tìm giao điểm của MN và (SBD) MN nằm trong mặt phẳng (CMN). Giao tuyến của (CMN) và (SBD) là SI. * Do đó, giao điểm của MN với (SBD) là giao điểm của MN với SI. Gọi giao điểm đó là K. Kết luận: Giao điểm của MN với (SBD) là giao điểm của MN với SI, trong đó I là giao điểm của CM với BD. Vậy đáp án C là đúng.

---

Câu 20: (0.31 điểm) (VẬN DỤNG - Trắc nghiệm Đúng/Sai)

Đáp án đúng: B. , là trung điểm .

Giải thích:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng $(AGI)$, $(Q)$ là mặt phẳng $(ACD)$. Ta có: $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $I \in (ABC)$. $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G \in (BCD)$. Bước 1: Xác định giao tuyến của $(AGI)$ và $(ACD)$ Ta có: $A$ là điểm chung thứ nhất của $(P)$ và $(Q)$. $I \in (ABC)$, $I \in (P)$, $C \in (ACD)$, $D \in (ACD)$ Gọi $E$ là giao điểm của $AI$ và $CD$. Khi đó $E \in (P)$ và $E \in (Q)$. Vậy $E$ là điểm chung thứ hai của $(P)$ và $(Q)$. Vậy giao tuyến của $(AGI)$ và $(ACD)$ là đường thẳng $AE$. Bước 2: Xác định giao tuyến của $(AGI)$ và $(BCD)$ Ta có: $G \in (AGI)$, $G \in (BCD)$ nên $G$ là điểm chung thứ nhất của $(AGI)$ và $(BCD)$. Gọi $F$ là giao điểm của $GI$ và $BC$. Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa các điểm $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AI$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$. Suy ra, $AI$ đi qua trung điểm của $BC$. $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ $GI$ cắt $BC$ tại $F$. Trong $\triangle ABC$, $I$ là trọng tâm, $AI$ cắt $BC$ tại $M$ là trung điểm của $BC$. Trong $\triangle BCD$, Gọi $N$ là trung điểm $CD$, $BN$ là đường trung tuyến. * Ta có $M$ là trung điểm $BC$. Vì $I$ là trọng tâm $\triangle ABC$ nên $\dfrac{AI}{AM} = \dfrac{2}{3}$. Bước 4: Kết luận Trong $\triangle BCD$, $G$ là trọng tâm. $BN$ là trung tuyến nên $BG = \dfrac{2}{3} BN$. Vậy $AE$ và $BN$ đồng quy tại trung điểm của $CD$. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $(AGI)$ và $(ACD)$ là đường thẳng đi qua $A$ và trung điểm của $CD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(AGI)$ và $(BCD)$ là đường thẳng đi qua $G$ và trung điểm của $BC$. Suy ra, giao tuyến của hai mặt phẳng $(AGI)$ và $(ACD)$ cắt $(BCD)$ tại trung điểm của $CD$. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(AGI)$ và $(ACD)$ là đường thẳng đi qua $A$ và trung điểm $CD$. Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng $(AGI)$ và $(ACD)$ là đường thẳng đi qua $A$ và trung điểm của $CD$. Vậy đáp án đúng là B. , là trung điểm .

---

Câu 21: (0.31 điểm) (VẬN DỤNG - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: C. Thiết diện của (MND) với hình chóp là tứ giác NDMK, với K là giao điểm của SB với NI, I là giao điểm của MD với BC.

Giải thích:

Để giải bài toán này, ta cần xác định thiết diện của mặt phẳng (MND) với hình chóp S.ABCD. Ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Xác định các yếu tố ban đầu: - S.ABCD là hình chóp với đáy ABCD là hình bình hành. - M thuộc AB, N thuộc SC. - Mặt phẳng (MND) cắt hình chóp. 2. Tìm giao tuyến của (MND) với các mặt của hình chóp: - (MND) và (ABCD): - M thuộc AB, D thuộc (ABCD), do đó MD nằm trong (ABCD). - Gọi I là giao điểm của MD và BC. Vì ABCD là hình bình hành nên MD và BC cắt nhau. Vậy $I = MD \cap BC$. - (MND) và (SBC): - N thuộc SC, I thuộc BC, do đó NI nằm trong (SBC). - Gọi K là giao điểm của NI và SB. Vậy $K = NI \cap SB$. - (MND) và (SAB): - M thuộc AB, K thuộc SB, do đó MK nằm trong (SAB). - Tuy nhiên, ta đã có giao tuyến MD với (ABCD) và NK với (SBC). - (MND) và (SCD): - N thuộc SC, D thuộc (SCD), do đó ND nằm trong (SCD). - (MND) và (SAD): - Không có giao điểm trực tiếp. 3. Xác định thiết diện: - Các giao điểm của (MND) với các cạnh của hình chóp là M, N, D, K. - Nối các điểm này lại, ta được tứ giác NDMK. - Vậy thiết diện của (MND) với hình chóp S.ABCD là tứ giác NDMK. 4. Kiểm tra lại điều kiện: - K là giao điểm của SB với NI. - I là giao điểm của MD với BC. Vậy, đáp án đúng là thiết diện của (MND) với hình chóp là tứ giác NDMK, với K là giao điểm của SB với NI, I là giao điểm của MD với BC.

---

Câu 22: (0.31 điểm) (VẬN DỤNG - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: A. Các đường thẳng đồng qui.       

Giải thích:

Gọi $S$ là đỉnh của hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $A', B', C', D'$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với các cạnh bên $SA, SB, SC, SD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta có các tính chất sau: 1. Trong hình chóp $S.ABCD$, giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ là $O$. 2. $(\alpha)$ cắt các cạnh bên $SA, SB, SC, SD$ tại $A', B', C', D'$. Ta xét các tam giác $SAC$ và $SBD$. Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt $SA, SC$ tại $A', C'$ và cắt $SB, SD$ tại $B', D'$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, ta có $A'C'$ cắt $SO$ tại $I$. Trong mặt phẳng $(SBD)$, ta có $B'D'$ cắt $SO$ tại $J$. Vì $SO$ nằm trong cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$, nên $I$ và $J$ phải trùng nhau tại một điểm trên $SO$. Vậy $A'C', B'D', SO$ đồng quy tại một điểm. Chứng minh chi tiết hơn: Gọi $I = A'C' \cap SO$ và $J = B'D' \cap SO$. Ta cần chứng minh $I \equiv J$. Vì $A', C' \in (\alpha)$ nên $A'C' \subset (\alpha)$. Do đó, $I \in A'C' \subset (\alpha)$, suy ra $I \in (\alpha)$. Vì $I \in SO$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$. Tương tự, $B', D' \in (\alpha)$ nên $B'D' \subset (\alpha)$. Do đó, $J \in B'D' \subset (\alpha)$, suy ra $J \in (\alpha)$. Vì $J \in SO$ nên $J$ thuộc mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$. Vì $I, J \in SO$ và $I, J \in (\alpha)$ nên $I, J$ là giao điểm của $SO$ và $(\alpha)$. Do đó, $I \equiv J$. Vậy, $A'C', B'D', SO$ đồng quy. Kết luận: Các đường thẳng $A'C'$, $B'D'$ và $SO$ đồng quy. Đáp án đúng là A.

---

Câu 23: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm Đúng/Sai)

Đáp án đúng: C. 6.     

Giải thích:

Hình chóp tam giác có đáy là một tam giác và ba mặt bên là các tam giác. Đáy có 3 cạnh. Ba mặt bên, mỗi mặt có một cạnh nối từ đỉnh của chóp đến một đỉnh của đáy. Vậy có thêm 3 cạnh nữa. Tổng số cạnh là $3 + 3 = 6$. Vậy đáp án là C.

---

Câu 24: (0.31 điểm) (VẬN DỤNG - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: B. Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’ với D’ là giao điểm của B’I với SD, trong đó I là giao điểm của A’C’ với SO, O là giao điểm của AC và BD.

Giải thích:

Lời giải chi tiết: Để xác định thiết diện của mặt phẳng (A'B'C') với hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giao tuyến ban đầu: - (A'B'C') cắt mặt (SAB) theo giao tuyến A'B'. - (A'B'C') cắt mặt (SAC) theo giao tuyến A'C'. - (A'B'C') cắt mặt (SBC) theo giao tuyến B'C'. 2. Tìm giao điểm I của A'C' và SO: - Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó, O thuộc mặt phẳng (ABCD) và SO nằm trong mặt phẳng (SAC). - I là giao điểm của A'C' và SO, do đó I thuộc cả mặt phẳng (A'B'C') và (SAC). 3. Tìm giao điểm D': - Vì I thuộc A'C' nên I thuộc (A'B'C'). - Vì I thuộc SO nên I thuộc (SBD). - Do đó, I là điểm chung của (A'B'C') và (SBD). - B' thuộc (A'B'C') và B' thuộc SB nên B' thuộc (SBD). - Vậy B'I là giao tuyến của (A'B'C') và (SBD). - Gọi D' là giao điểm của B'I và SD. Khi đó, D' thuộc cả (A'B'C') và SD. 4. Xác định thiết diện: - Thiết diện của (A'B'C') với hình chóp S.ABCD là hình tạo bởi các giao tuyến của (A'B'C') với các mặt của hình chóp. - Các giao tuyến này là: - A'B' trên mặt (SAB). - B'D' trên mặt (SBD). - D'C' (ta cần chứng minh) nằm trên mặt (SCD), và C' thuộc (SAC) -C'A' nằm trên mặt (SAC). - Do đó, thiết diện là tứ giác A'B'D'C'. Vì vậy, đáp án đúng là: "Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’ với D’ là giao điểm của B’I với SD, trong đó I là giao điểm của A’C’ với SO, O là giao điểm của AC và BD."

---

Câu 25: (0.31 điểm) (VẬN DỤNG - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SCD) là điểm P thỏa mãn C là trung điểm của DP d) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SQP) là điểm E thoả mãn

Giải thích:

Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng, định lý Talet và các tính chất hình học trong không gian. a) Chứng minh giao tuyến của (SAM) và (SCD) là điểm P thỏa mãn C là trung điểm của DP. Gọi P là giao điểm của AM và CD. Xét mặt phẳng (ABCD): M thuộc BC, CD cắt AM tại P nên P thuộc CD. M thuộc AM nên P thuộc AM. Vậy P là giao điểm của AM và CD. Xét mặt phẳng (SAM) và (SCD): S là điểm chung thứ nhất. P thuộc AM, P thuộc CD => P là điểm chung thứ hai. Vậy SP là giao tuyến của (SAM) và (SCD). Áp dụng định lý Talet trong hình bình hành ABCD: Vì M là trung điểm BC nên $BC = 2MC$. Do ABCD là hình bình hành nên $AD = BC = 2MC$. Xét tam giác APD, có MC // AD. Theo định lý Talet: $\frac{CP}{DP} = \frac{CM}{AD} = \frac{CM}{2CM} = \frac{1}{2}$ Suy ra $2CP = DP$. Mà $DP = DC + CP$ nên $2CP = DC + CP$, do đó $CP = DC$. Vậy C là trung điểm của DP. d) Chứng minh giao tuyến của (SAB) và (SQP) là điểm E thỏa mãn một điều kiện nào đó (điều kiện cần được xác định rõ ràng hơn). Vì câu hỏi không cung cấp thông tin đủ để xác định rõ điểm Q và điểm E, và mối quan hệ giữa chúng, ta không thể giải đầy đủ câu d. Tuy nhiên, ta có thể đưa ra hướng tiếp cận chung: Xác định rõ vị trí điểm Q: Q là giao điểm của hai đường thẳng nào? Tìm điểm chung thứ nhất của (SAB) và (SQP): S là điểm chung. Tìm điểm chung thứ hai của (SAB) và (SQP): Điểm này có thể là giao điểm của một đường thẳng nào đó nằm trong (SAB) với một đường thẳng nào đó nằm trong (SQP). Thường ta sẽ tìm giao điểm của AB với QP. Gọi giao điểm này là E. Khi đó, giao tuyến của (SAB) và (SQP) là SE. Từ vị trí của E, sử dụng các định lý hình học (Talet, Menelaus,...) để tìm ra mối liên hệ giữa E với các điểm khác trong hình. Do đề bài chưa rõ ràng về điểm Q và điểm E, nên không thể đưa ra chứng minh hoàn chỉnh cho câu d. Cần có thêm thông tin để giải quyết bài toán này.

---

Câu 26: (0.31 điểm) (VẬN DỤNG - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO  d) Ba điểm C, J, K thẳng hàng

Giải thích:

Lời giải: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng đáp án và sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO - Xét hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - O là giao điểm của AC và BD nên O thuộc AC và BD. Do đó, O thuộc (SAC) và (SBD). - S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - Vậy, giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO. => Đáp án a đúng. b) Giao điểm của BF và (SAC) là điểm K với K = SC ∩ BF. - Để tìm giao điểm của BF và (SAC), ta cần tìm điểm thuộc cả BF và (SAC). - K là giao điểm của SC và BF, điều này không đảm bảo K thuộc (SAC). Ta cần tìm cách dựng điểm K khác. - Do đó, đáp án này có thể sai. c) J = EF ∩ AC - J là giao điểm của EF và (SAC). - Để tìm giao điểm J, ta cần tìm một mặt phẳng chứa EF và cắt (SAC) theo một đường thẳng, sau đó tìm giao điểm của EF với đường thẳng đó. - Tuy nhiên, đề bài cho J là giao điểm của EF và (SAC), không có thông tin J = EF ∩ AC. - Do đó, đáp án này có thể sai. d) Ba điểm C, J, K thẳng hàng - K là giao điểm của BF và (SAC). - J là giao điểm của EF và (SAC). - Để chứng minh C, J, K thẳng hàng, ta cần sử dụng định lý Desargues hoặc Menelaus. - Xét mặt phẳng (SCD), E thuộc BC, F thuộc SD. Gọi K' là giao điểm của BF và SC. Khi đó, K' thuộc (SAC). Do đó, K' trùng với K. - Trong mặt phẳng (SCD), xét tam giác SCD và cát tuyến BEF, áp dụng định lý Menelaus: $\frac{SB}{BC} \cdot \frac{CE}{ED} \cdot \frac{DF}{FS} = 1$ - Xét trong mặt phẳng (ABC), E thuộc BC, H thuộc AC, ta cần tìm một điểm J' thuộc EF sao cho C, J', K thẳng hàng. - Do đó, đáp án này có thể đúng. Kiểm tra đáp án a và d: - Vì đáp án a đúng, ta cần kiểm tra xem đáp án d có đúng không. - Xét mặt phẳng (SBD), ta có O là giao điểm của BD và AC. - Gọi K là giao điểm của BF và (SAC). - Gọi J là giao điểm của EF và (SAC). Để chứng minh C, J, K thẳng hàng, ta xét mặt phẳng (SBC). Gọi K' là giao điểm của SC và BF. Khi đó K' thuộc (SAC). Do đó K' trùng K. Xét mặt phẳng (SAC): - K thuộc SC - J thuộc (SAC) Khi đó, C, J, K thẳng hàng khi và chỉ khi J thuộc CK. Vậy cả a và d đều đúng.

---

Câu 27: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: D. Hai đường thẳng cắt nhau.

Giải thích:

Để xác định một mặt phẳng duy nhất, ta cần các yếu tố sau: A. Hai đường thẳng: Hai đường thẳng có thể song song, cắt nhau, hoặc chéo nhau. Nếu hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau, chúng xác định một mặt phẳng duy nhất. Nếu hai đường thẳng chéo nhau, chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng nào. Vì vậy, phương án này không đúng. B. Một điểm và một đường thẳng: Nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì có vô số mặt phẳng đi qua. Nếu điểm đó không nằm trên đường thẳng thì chúng xác định một mặt phẳng duy nhất. Vì vậy, phương án này không đúng. C. Ba điểm: Ba điểm có thể thẳng hàng hoặc không thẳng hàng. Nếu ba điểm thẳng hàng, có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm đó. Nếu ba điểm không thẳng hàng, chúng xác định một mặt phẳng duy nhất. Vì vậy, phương án này không đúng. D. Hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất chứa cả hai đường thẳng đó. Vậy, đáp án đúng là D. Hai đường thẳng cắt nhau.

---

Câu 28: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: B. Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.

Giải thích:

Để xác định một mặt phẳng duy nhất trong không gian, ta cần các yếu tố sau: Ba điểm không thẳng hàng. Một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó. Hai đường thẳng cắt nhau. Hai đường thẳng song song. Dựa vào các yếu tố trên, ta xét các phương án: A. Ba điểm: Ba điểm có thể thẳng hàng hoặc không thẳng hàng. Nếu ba điểm thẳng hàng thì không xác định được mặt phẳng duy nhất. B. Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó: Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó xác định một mặt phẳng duy nhất. C. Hai điểm: Hai điểm chỉ xác định một đường thẳng, không xác định mặt phẳng duy nhất. D. Bốn điểm: Bốn điểm có thể đồng phẳng hoặc không đồng phẳng. Nếu không đồng phẳng thì không xác định được mặt phẳng. Vậy, chỉ có phương án B là đúng.

---

Câu 29: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: C. Chúng không cùng nằm trong bất kì một mặt phẳng nào.

Giải thích:

Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng, tức là không cùng nằm trong bất kỳ một mặt phẳng nào. A. Chúng không có điểm chung: Hai đường thẳng song song cũng không có điểm chung, nhưng chúng không chéo nhau. B. Chúng không cắt nhau và không song song với nhau: Điều này đúng, nhưng chưa đủ để định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau. Ví dụ, hai đường thẳng cắt nhau thì không song song nhưng cũng không chéo nhau. C. Chúng không cùng nằm trong bất kì một mặt phẳng nào: Đây là định nghĩa chính xác của hai đường thẳng chéo nhau. D. Chúng không nằm trong bất cứ hai mặt phẳng nào cắt nhau: Phát biểu này không chính xác. Hai đường thẳng chéo nhau vẫn có thể nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau. Vậy đáp án đúng là C.

---

Câu 30: (0.31 điểm) (THÔNG HIỂU - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: A. Tam giác hoặc tứ giác.

Giải thích:

Để xác định thiết diện của một mặt phẳng với một tứ diện, ta cần xem xét số lượng cạnh của tứ diện mà mặt phẳng đó cắt. Trường hợp 1: Mặt phẳng cắt 3 cạnh của tứ diện. Khi đó, thiết diện tạo thành sẽ là một tam giác. Ví dụ, mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các cạnh $AB$, $AC$, và $AD$ của tứ diện $ABCD$. Thiết diện tạo thành là tam giác. Trường hợp 2: Mặt phẳng cắt 4 cạnh của tứ diện. Khi đó, thiết diện tạo thành sẽ là một tứ giác. Ví dụ, mặt phẳng $(\beta)$ cắt các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, và $DA$ của tứ diện $ABCD$. Thiết diện tạo thành là tứ giác. Như vậy, thiết diện của một mặt phẳng với một tứ diện có thể là một tam giác hoặc một tứ giác. Các trường hợp khác không xảy ra (ví dụ, ngũ giác). Vậy, đáp án đúng là A. Tam giác hoặc tứ giác.

---

Câu 31: (0.31 điểm) (THÔNG HIỂU - Trắc nghiệm Đúng/Sai)

Đáp án đúng: B. 2.                              

Giải thích:

Hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau xác định một mặt phẳng, gọi là $(P)$. Điểm $A$ không nằm trên $a$ và $b$ (do không nằm trên giao điểm của $a$ và $b$). Vậy, $A$ không thuộc $(P)$. Khi đó, ta có thể xác định thêm một mặt phẳng nữa chứa $A$ và một trong hai đường thẳng $a$ hoặc $b$. Do đó: - Mặt phẳng $(a,b)$ là duy nhất. - Mặt phẳng $(A,a)$ là duy nhất. - Mặt phẳng $(A,b)$ là duy nhất. Tuy nhiên, vì $A$ không thuộc $(P)$, mặt phẳng $(A,a)$ và $(A,b)$ khác với mặt phẳng $(a,b)$. Vậy, ta có hai mặt phẳng: $(a,b)$ và $(A,a)$ (hoặc $(A,b)$). Tổng cộng có tối đa 2 mặt phẳng được xác định. Vậy đáp án đúng là B.

---

Câu 32: (0.31 điểm) (NHẬN BIẾT - Trắc nghiệm một lựa chọn)

Đáp án đúng: C. 6 mặt, 10 cạnh.          

Giải thích:

Một hình chóp có đáy là ngũ giác sẽ có: Mặt: Mặt đáy là một ngũ giác (1 mặt). Các mặt bên là các tam giác, số lượng bằng số cạnh của đáy, vậy có 5 mặt bên. Tổng cộng có 1 + 5 = 6 mặt. Cạnh: Đáy là một ngũ giác, vậy có 5 cạnh. Mỗi đỉnh của ngũ giác nối với đỉnh của hình chóp tạo thành một cạnh, vậy có thêm 5 cạnh. Tổng cộng có 5 + 5 = 10 cạnh. Vậy hình chóp ngũ giác có 6 mặt và 10 cạnh.